Contribuciones a la cardinalidad de curvas elípticas y a los volcanes de isogenias

Resumen

Aunque uno de los problemas matemáticos más utilizados hoy en día en el diseño de protocolos criptográficos es el problema del logaritmo discreto sobre el grupo de puntos de una curva elíptica definida sobre un cuerpo finito (ECDLP -- Elliptic Curve Discrete Logarithm Problem), no todas las curvas elípticas existentes son válidas para su uso en él. Por lo que se sabe hasta ahora, la validez para el ECDLP de una curva elíptica $ E $ definida sobre un cuerpo finito $ \F_q $ depende de su cardinal sobre $ \F_q $. Como calcular el cardinal de $ E $ es un problema computacionalmente costoso, parece razonable pensar que si $ E $ es válida, podamos obtener a partir de ella otras curvas elípticas que también lo sean, es decir, que también tengan su mismo cardinal sobre $ \F_q $. Para ello lo único que tenemos que hacer es calcular curvas elípticas $ d $--isógenas a $ E $ sobre $ \F_q $, es decir, debemos calcular $ d $--isogenias $ \F_q $--racionales. Sea $ \ell $ un número primo tal que $ \ell $ no divide a $ q $. El conjunto de todas las clases de isomorfía sobre $ \F_q $ de curvas elípticas ordinarias con un determinado cardinal sobre $ \F_q $ puede ser representado mediante un grafo dirigido cuyos vértices son las clases de isomorfía y cuyos arcos representan $ \ell $--isogenias $ \F_q $--racionales entre curvas elípticas de los vértices. Cada componente conexa de este digrafo es un volcán de $ \ell $--isogenias o $ \ell $--volcán sobre $ \F_q $. Los vértices de un $ \ell $--volcán se distribuyen por niveles. El número total de niveles menos uno es su altura. Calcular la altura de un $ \ell $--volcán puede mejorar la eficiencia del algoritmo SEA, siendo el SEA el mejor algoritmo conocido actualmente para calcular el cardinal de una curva elíptica. Otras aplicaciones de los volcanes de $ \ell $--isogenias las encontramos en el cálculo de los polinomios de clases de Hilbert o los polinomios modulares. En todas ellas es preciso recorrer los vértices de $ \ell $--volcanes. En esta tesis, por un lado, damos nuevos métodos para recorrer los vértices de los volcanes de $ \ell $--isogenias. Por otro lado, conocida la valoración $ \ell $--ádica del cardinal de $ E $ sobre $ \F_q $, estudiamos la valoración $ \ell $--ádica del cardinal de $ E $ sobre una extensión de grado $ k $ de $ \F_q $. Conocida la estructura del subgrupo de $ \ell $--Sylow de $ E $ sobre $ \F_q $, también estudiamos la del subgrupo de $ \ell $--Sylow de $ E $ sobre $ \F_{q^k} $.